这些话本来是要放在最后说的，可是我怕你们看不到那里！下面的内容太过于硬核，看到那些数学公式，心里就已经一万头草泥马奔腾而过了，但是不妨碍你去了解GTO背后的理论依据，凡事就算我们搞不懂具体过程，可是背后的原理我们应该了解，如果你是一个理性思维的人，你应该懂，当你了解背后的原理，就不会那么轻易的被人当成韭菜割掉，这就是韭菜该有的自我修养。

就好比那些花里胡哨的各种减肥代理，什么营养代餐啦等等，其实减肥的原理只有人体摄入热量

无论采用何种策略，基本EV公式都是一样，由底池权益和弃牌权益组成。

主动方（Aggressive: Player1）的EV扩写成：

被动方（Passive: Player2）的EV扩写成：

· EQ--P1和P2所占的底池权益（胜率）百分比；

· f%--P2（防守方）的弃牌频率（Fold Frequency）；

· P--当前底池的大小；

· B--P1（进攻方）的下注大小。

对HU来说：

· 表明：在P2（被动方）确认跟注之前，无论P1（主动方）采用什么尺度下注，他的总EV不会超过底池大小。

BET：主动方下注，理由一：确认己方当前的底池（P）权益，并尝试将底池扩大到（P+2B），以增加己方的所占底池权益的绝对值（EV）；理由二：确认己方当前的底池（P）权益，并尝试拒绝对方当前的底池权益，以获得对方的弃牌权益。

CALL：被动方跟注，确认对方扩大底池（P+2B）后，己方的底池权益。

FOLD：被动方弃牌，放弃己方的底池（P）权益，结束当前牌局。

CHECK：OOP过牌，确认己方当前的底池（P）权益，并放弃获得对方的弃牌权益。IP过牌，确认己方当前的底池（P）权益，并进入下个回合或秀牌。

RAISE：被动方加注，确认对方扩大底池（P+2B）后，己方的底池权益。然后转换主动与被动方， 并尝试将底池扩大到[P+2B+2x(R-B)]，理由同下注。

Pot Odds/Odds，是在EV公式去掉f%的影响，只考虑EQ。

前提：Odds应用于被动方P2的弃牌率f%=0%时（即跟注）。

当进攻方P1在底池P中下注B时，对防守方P2来说，Fold的EV永远是零。如果防守方决定跟注防守，必然需要EV_{P2}>0。

同时，上述的百分比形式底池赔率经常改写成1赔多少的赔率：

· Odds代表着1赔多少，这是各种博弈/博彩游戏中常用的一个参数。

· Odds可以用于翻前及翻后各条街。

· 对P2来说，EQ_{P2}是Hand vs Range。

MDF(Minimum Defense Frequency)，是在EV公式去掉EQ的影响，只考虑f%。

前提：MDF应用于被动方P2防守，而P1是两级化范围时，常见的是河牌。

当进攻方P1在底池P中下注B来进行BLUFF时，即EQ_{P1}=0%时，要使EV_{P1}>0。

· 即P2的跟注必须小于MDF，P1才能用EQ_{P1}=0%的牌获利。

· 对于防守方P2来说，大于MDF的跟注频率才能阻止P1用ATC（any two cards）诈唬获利。

· 在河牌中，如果判断出对手是两极化范围（Polarized Range），那么可用MDF频率抓诈。

前提：价值诈唬比应用于主动方P1下注。

当主动方P1在底池P中下注B时，要使被动方P2跟注与弃牌无差别，即EV_{P2}=0，EV_{P1}=P。

假设P1范围内有N手牌，其中N_{v}手EQ=100%，N_{b}手EQ=0%。

因此，当P1是两极化范围时，他的下注时价值诈唬比为：

· P1的价值比诈唬，在数值上等于P2的Odds（赔率）。

· P1的诈唬比价值，在数值上等于P2的α（弃牌频率）。

· 应用MDF（P2）出现的问题，在于假设P1的Bluff手牌的EQ都是零，Value手牌的EQ都是100%。

· 也就是说，主动方P1必须在每条街上都是完美两极化范围（Polarized Range），而被动方P2始终是紧缩范围（Condenced Range）。

· 事实上，在非河牌圈，这种情况非常罕见。

· 但是在翻前/翻后前两街，MDF（P2）与价值诈唬比（P1）仍提供了我们一种思路。我们应该用EQ高（强成牌）、EQr>1（强听牌）的手牌来组成的两极化范围进攻，EQr接近1（弱成牌）组成的紧缩范围防守，而EQ低和EQr

逆向归纳法，Backward Induction，常用于求解动态博弈的纳什均衡（子博弈精炼纳什均衡SPE）。其基本思路是从动态博弈中的最后一个阶段开始，局中人都遵循EV最大化选择行动，然后逐步倒推至前一个阶段，一直到博弈开始局中人的行动选择。

Subgame Perfect Nash Equilibrium（SPE），Perfect的意思是要求在每一个子博弈（Subgame）节点都达到Nash Equilibrium，从而消除静态NE中不可置信的威胁的问题。

举一个NLH Toy Game的例子来说明完美极化范围（PR）和逆向归纳法（BI）：

· OOP RANGE：AA、7♥2♥、7♠2♠

· IP RANGE: KK

· Borad：A♠A♣K♣

· Staring Pot=100，Effective Stacks=1300

· OOP在Flop下注100，已知OOP的策略是三条街各下注100%Pot Size

· 求解IP的应对策略？

在这个Toy Game情景设置中，我们可以看到OOP在三条街都形成了完美的Polarized Range，并具有稳定的胜率。现在以逆向归纳法来求解IP在Flop的应对策略。

从河牌开始推算，OOP下注100%底池，下注范围具有1个价值，0.5个诈唬，价值诈唬比是2:1。他可以选择1个AA，0.5个72，而如果IP能坚持到河牌，按MDF要求，他应该防守50%的KK。

倒推到转牌，OOP下注100%底池，他的下注范围应该是1.5个价值，0.75个诈唬，他选择推进到河牌的下注范围是{1个AA，0.5个72}，推进到河牌的过牌范围是0.75个72。

倒推到翻牌，OOP下注100%底池，他的下注范围应该是2.25个价值，1.125个诈唬，他选择推进到转牌的下注范围是{1个AA，1.25个72}，推进到转牌的过牌范围是1.125个72。而实际上，在剔除价值牌后，推进到转牌的过牌范围只剩下0.75

解答：IP得知这个策略后，KK的唯一选择是弃牌。

问题一，IP在翻牌可以用Odds吗？

A: 在翻牌OOP下注100%P，给到IP的Pot Odds是33%，而对应OOP的范围，KK对1个AA，2个72，EQ_{P2}=66%，表面看来赔率合适。为什么不能Call呢？这就是Odds的问题，因为它是静态的，无法考虑对手后续的策略。如果我们的SPR极低或牌局就在此刻结束，才能用Odds跟注。

问题二，OOP为什么一直用价值咋呼比？

A: 价值咋呼比是用下注额来分配极化范围的要求，也是GTO的关键点之一。

问题三，我们在河牌能用到MDF吗？

A: 由于KK的最优策略是在Flop就弃牌，所以按MDF计算河牌抓诈已经毫无意义。如果IP跟注到河牌，我们称之为Off-tree，也就是该行动已经在Flop偏离了IP的最佳策略。反映在Solver上，就是这个组合在河牌已经没有任何行动频率。

问题四，如果OOP不懂均衡策略，不按这个策略线行动，IP应该怎么做？

A: 这就是我们需要建立策略树的原因。多条可能策略线形成策略树，每条策略树的结果聚合后，构成一个IP在Flop行动的频率。

在Solver中，一共有49张未知转牌、48张未知河牌，一共是2352个组合。我们建立了若干条策略线，每条策略线对应的2352个组合，分别进行逆向归纳法计算。最后的结果以聚合的形式，在Flop进行汇总，从而得到GTO解。

Solver本质上是一个SPE（子博弈精炼纳什均衡）计算器。而NLH，是一个不完全信息动态博弈游戏，要用PBE(Perfect Bayes Equilibium精炼贝叶斯纳什均衡)来解决。当存在不完全信息时，逆向归纳法并不能用来解决PBE问题。

因此，我们用solver，事实上是把对手的范围观察后转化为完全信息，再用抽象过的策略树来尽量模拟整个策略空间。然后，把PBE降阶为SPE来计算。

这就产生Solver的两大问题：第一，如何利用贝叶斯推断对手的信念（范围）？；第二，Solver解对树外的未知策略的鲁棒性如何？

应用贝叶斯定理需要一个先验概率，基于新的信息，修正后验概率。

一个简单的例子：一个未知牌手第一手就在BTN位RFI抢盲，而你在BB位置。你判断他有先验概率50%可能是35%范围的紧手，有先验概率50%可能是60%宽范围的松手（35%、60%来源于我们对当前玩家池的总体大数据）。他是宽范围松手的后验概率变化为多少？

令事件A为对手在BTN位置抢盲；

令事件B为对手是宽范围的松型牌手。

紧接着第二手他又在BTN位RFI抢盲。你已修正他有先验概率37%可能是35%范围的紧手，有先验概率63%可能是60%宽范围的松手。他是宽范围松手的后验概率又变化为多少？

紧接着第三手他又在BTN位RFI抢盲。你已修正他有先验概率17%可能是35%范围的紧手，有先验概率83%可能是60%宽范围的松手。他是宽范围松手的后验概率又变化为多少？

因为他连续三手RFI抢盲，我们判断他96%的可能是一名60%宽范围松手。我们在Solver输入他的范围时，在NE的基准范围上，可暂时按60%左右的范围放宽。

也许你从直觉已经判断出相同的结果，但贝叶斯定理给了我们观察分析对手的数学依据。

我们说的树外策略，不是指45%Pot Size和50%Pot Size，这些尺度都可以人脑中进行抽象归并。特定的树外策略例如人机大战，为了寻找Libratus的漏洞，人类选择了各种匪夷所思的尺度，如5%，300%等。根据资料，在PIO中，10%以下的下注是被忽略的。

但这并不代表Solver不能付诸于实践。事实上，由于现实游戏中人类的筹码深度和行为习惯，常见的下注尺度从25%-150%之间，Solver中建立的策略树基本可以反映现实情况，我们没有必要将不可能发生的策略加入策略树以增加解的复杂度。

使用Solver尽量细化优化策略树（根据计算机能力），来得到相对准确的有鲁棒性的解。这是一个要研究的方向。

对于GTO策略和应用软件Solver，我们既不应该无限神化，也不应该随意贬低。GTO策略是根据扑克基本原理导出的一种均衡策略，而Solver是一种有用的学习工具和计算器。

没有Solver，你也应该要了解扑克背后的博弈论原理、基本EV公式、逆向归纳法和贝叶斯定理。